Hinweise für Studierende der Mathematik

Studierende der Mathematik im ersten Semester werden gebeten, im Rahmen einer probeweisen Nutzung an der Evaluation von Math-Bridge mitzuwirken. Insbesondere während der ersten 5 Wochen des Studiums, bis zur ersten Prüfung (Einführung in das mathematische Arbeiten), kann Ihnen Math-Bridge bei der Wiederholung des Schulstoffes helfen. Bitte gehen Sie so vor:

Unter der Adresse

http://service.math-bridge.org/

finden Sie Materialien zum "Brückenstoff", die Sie nach Belieben nutzen können. Das Angebot wird laufend erweitert.
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Rufen Sie bitte den Fragebogen zur Vorerhebung für Studierende (auf der Einstiegsseite sichtbar, sofern Sie eingeloggt sind) auf und machen Sie einige Angaben zu Ihrer Person und Ihrem Hintergrund!
Lesen Sie die Hilfe (im Menü oben rechts aufzurufen)! Hier einige Hinweise zur Bedienung.
Nutzen Sie die Inhalte, die Werkzeuge und die Möglichkeiten, Lerninhalte nach Ihren Bedürfnissen zu "Büchern" zusammenzufassen!
Tipp: Hinter dem Titel Vollständiger Inhalt von LeAM_calculus verbirgt sich der umfangreichste Math-Bridge-Lehrgang zum "Brückenstoff". (Weiter unten finden Sie eine Zusammenstellung der Inhalte dieses Lehrgangs).
Wenn Sie einzelne Lernobjekte besonders gut oder besonders schlecht finden, können Sie das mit Hilfe der Buttons "Mag ich" und "Mag ich nicht" zum Ausdruck bringen.
Ungefähr Mitte November 2010, wenn Ihre erste Lernphase für die Prüfung zur Vorlesung Einführung in das mathematische Arbeiten vorüber ist, bitten wir Sie, einen zweiten Fragebogen auszufüllen, der Ihrer Rückmeldung über die Nützlicheit des Angebots dient und helfen soll, es zu verbessern. Sie finden ihn (sofern Sie eingeloggt sind) unter der Bezeichnung Feedback-Fragebogen für Studierende auf der Einstiegsseite.
Danach können Sie die Angebote von Math-Bridge selbstverständlich weiterhin nutzen! Sie werden kontinuierlich erweitert und werden auch nach dem offiziellen Projektende zur Verfügung stehen.

Falls dazu noch Fragen haben, wenden Sie sich enweder an Ihre Lehrenden und TutorInnen der einführenden Lehrveranstaltungen oder schreiben Sie eine eMail an Franz Embacher!

Herzlichen Dank für Ihre Mithilfe!

Anmerkung zu Vollständiger Inhalt von LeAM_calculus: Dieser (von Christian Groß und Marianne Moormann verfasste) Lehrgang ist teilweise auf Schul-, teilweise auf Universitätsniveau gehalten und enthält erklärende Texte, Aufgaben, Beispiele und interaktive Applets. Er liegt - neben Deutsch - auch in Englisch, Französisch, Chinesisch, Italienisch, Spanisch, Ungarisch und Tschechisch vor. Hier eine Übersicht über die Inhalte:

Grundlagen

1.1 Grundlagen zu Geraden
- Geraden
- Steigung von Geraden
- Verschiedene Geradengleichungen
- Schnittwinkel von Geraden
1.2 Die binomischen Formeln
- Binomialkoeffizienten
- Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
- Binomischer Satz und binomische Formeln
- Zusätzliche Aufgaben und Beispiele
1.3 Grundlagen zu beschränkten Mengen
- Übungen zu Mengen
- Umgebungen
- Häufungspunkte und isolierte Punkte
- Obere und untere Schranken
- Maximum und Minimum
- Supremum und Infimum
- Das Vollständigkeitsaxiom
- Beschränkte und kompakte Mengen
- Zusätzliche Aufgaben und Beispiele

Folgen, Reihen und Grenzwerte

2.1 Grundlagen von Folgen
- Was sind Folgen?
- Reelle und komplexe Folgen
- Arithmetische Folgen
- Geometrische Folgen
- Monotone Folgen
- Wie die alten Babylonier Wurzeln zogen
2.2 Grenzwerte von Folgen
- Wie definiert man einen Grenzwert?
- Konvergente und divergente Folgen
- Einfache Folgerungen
- Nullfolgen
- Das Sandwich Theorem
- Aufgaben zu Grenzwerten
- Folgen mit festem Exponent
- Folgen mit fester Basis
- Konvergente geometrische Folgen
2.3 Beschränkte Folgen
- Was sind beschränkte Folgen?
- Beschränkte vs. konvergente Folgen
- Schranken von Grenzwerten
- Anwendungen beschränkter Folgen
- Intervallschachtelungen
- Wie Archimedes die Kreiszahl pi bestimmte
2.4 Rechnungen mit Grenzwerten
- Linearkombinationen von Folgen
- Folgen von Produkten und Quotienten
- Folgen von Potenzen und Wurzeln
- Übersicht über die Grenzwertsätze
2.5 Teilfolgen und Umordnungen
- Teilfolgen
- Häufungspunkte von Folgen
- Limes superior und limes inferior
- Der Satz von Bolzano-Weierstrass
- Charakterisierungen konvergenter Folgen
- Weitere Sätze über Häufungspunkte
- Umordnungen von Folgen
2.6 Cauchy-Folgen
- Was sind Cauchy-Folgen?
- Cauchy-Folgen vs. konvergente Folgen
2.7 Reihen
- Vorbereitung: Abelsche Gruppen
- Definition von Reihen
- Folgen vs. Reihen
- Arithmetische Reihen
- Geometrische Reihen
- Konvergenz bei geometrischen Reihen
- Anwendungen im Hinblick auf die Eulersche Zahl e
- Das Leibnizsche Konvergenzkriterium
- Die harmonische Reihe
2.8 Absolut konvergente Reihen
- Wann konvergieren Reihen absolut?
- Eigenschaften absolut konvergenter Reihen
- Das Majorantenkriterium
- Bedingt konvergente Reihen
- Umordnungen einer Reihe
- Das Cauchy-Produkt
2.9 Konvergenzkriterien für Reihen
- Konvergenzkriterien für Reihen
- Das Cauchysche Wurzelkriterium
- Das d'Alembertsches Quotientenkriterium
- Anwendung der Konvergenzkriterien
2.10 Potenzreihen
- Was sind Potenzreihen?
- Der Konvergenzradius
- Bestimmung des Konvergenzradius
- Weitere Eigenschaften von Potenzreihen

Funktionen und Relationen

3.1 Relationen
- Definition von Relationen
- Inverse und zusammengesetzte Relationen
- Spezielle Relationen
  - Reflexive und irreflexive Relationen
  - Transitive Relationen
  - Symmetrische, asymmetrische und antisymmetrische Relationen
  - Lineare und konnexe Relationen
  - Zusammenhänge zwischen diesen Eigenschaften
- Äquivalenzrelationen
- Halbordnungen
- Ordnungen
- Wohlordnungen
- Von Relationen zu Funktionen
3.2 Funktionen
- Definition der Funktion
- Vertiefung des Funktionsbegriffs
- Injektive und surjektive Funktionen
- Nullstellen von Funktionen
- Einfache Funktionen
- Quadratische Funktionen
- Polynome
- Definitionslücken und isolierte Punkte
- Rationale Funktionen
- Treppenfunktionen
- Symmetrische Funktionen I
- Umkehrfunktionen und Umkehrrelationen
- Zusammengesetzte Funktionen
- Symmetrische Funktionen II
- Monotone Funktionen
- Periodische Funktionen
- Projekte - Arbeit in Gruppen
3.3 Trigonometrische Funktionen und Formeln
- Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens
- Symmetrien der trigonometrischen Funktionen
- Besondere Werte und Umrechnungen
- Additions- und Multiplikationstheoreme, Potenzen
- Arkusfunktionen
- Projekte - Arbeit in Gruppen
3.4 Funktionengrenzwerte
- Einführung des Funktionengrenzwerts
- Rechts- und linksseitige Grenzwerte
- Uneigentliche Funktionengrenzwerte
- Abschätzungen von Funktionengrenzwerten
- Rechenregeln und spezielle Funktionengrenzwerte
- Funktionengrenzwerte zusammengesetzter Funktionen
- Rechts- und linksseitige Grenzwerte monotoner Funktionen
- Zusätzliche Aufgaben und Beispiele
- Projekte - Arbeit in Gruppen
3.5 Stetigkeit
- Definition von Stetigkeit
- Links- und rechtsseitige Stetigkeit
- Beschreibungen von Stetigkeit
- Unstetigkeit
- Übertragung von Stetigkeit
- Das Minimax-Prinzip
- Der Zwischenwertsatz
- Monotone Funktionen und Umkehrfunktionen
- Fortsetzungen und Definitionslücken
- Zusätzliche Aufgaben und Beispiele

Differentialrechnung

4.1 Differenzenquotienten
- Einführungsaufgaben
- Durchschnittliche Steigungen
- Durchschnittliche Änderungsraten
- Differenzenquotienten
- Zusätzliche Aufgaben und Beispiele
- Projekte - Arbeit in Gruppen
4.2 Einführung der Ableitung
- Von der Durchschnittssteigung zur momentanen Steigung
- Von der Durchschnittssteigung zur Ableitung (alternativ)
- Die momentane Steigung
- Die momentane Änderungsrate
- Differentialquotienten
- Die Ableitungsfunktion
- Die Tangente in einem Punkt eines Graphen
- Die Normale in einem Punkt eines Graphen
- Zusätzliche Aufgaben und Beispiele
4.3 Ableitungsregeln
- Ableitungen von Potenzen
- Ableiten nach der Summenregel
- Ableiten nach der Produktregel
- Ableiten nach der Quotientenregel
- Ableiten nach der Kettenregel
- Übersicht über die Ableitungsregeln
4.4 Ableitungen verschiedener Funktionen
- Ableitungen einfacher Funktionen
- Ableitungen nicht überall differenzierbarer Funktionen
- Ableitungen von Umkehrfunktionen
- Ableitungen trigonometrischer Funktionen
- Ableitungen von Arkusfunktionen
- Höhere Ableitungen
- 4.4.1 Exponential- und Logarithmusfunktionen
  - Einführung der natürlichen Exponentialfunktion
  - Die Eulersche Zahl
  - Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
  - Weitere Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion
  - Die natürliche Logarithmusfunktion
  - Potenzen mit reellen Exponenten
  - Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis
  - Logarithmusfunktionen zu beliebiger Basis
  - Potenzfunktionen mit reellen Exponenten
  - Die Hyperbelfunktionen
4.5 Sätze über differenzierbare Funktionen
- Charakterisierungen von Differenzierbarkeit und Nicht-Differenzierbarkeit
- Näherungsweise Ableitungsbestimmung und Restgliedformeln
- Differenzierbarkeit und Stetigkeit
- Mittelwertsätze
- Monotonie
- Die Regeln von L'Hôpital
- Über die Stetigkeit der Ableitungsfunktion
- Zusätzliche Aufgaben und Beispiele
4.6 Anwendungen der Differentialrechnung
- Stationäre Punkte
- Maxima und Minima
- Von lokalen zu globalen Extremstellen
- Charakterisierung von lokalen Extrema
- Bestimmung von Maximum und Minimum
- Konvexe und konkave Funktionen, Krümmungsverhalten
- Sätze über konvexe und konkave Funktionen
- Differenzierbarkeit konvexer und konkaver Funktionen
- Wendepunkte
- Charakterisierung von Wendepunkten
- Asymptoten und Polstellen
- Näherungsfunktionen
- Kurvendiskussion
- Schnitte und Schnittwinkel
- Zusätzliche Aufgaben und Beispiele
- Projekte - Arbeit in Gruppen

Anhang

5.1 Aufgaben und Beispiele
- 5.1.1 Funktionen
  - Eigenschaften des Funktionsbegriffs
  - Funktionen bestimmen
  - Nullstellen, Definitionslücken und Grad von Funktionen
- 5.1.2 Spezielle Funktionseigenschaften
  - Symmetrie und Periodizität
  - Beschränktheit und Monotonie
  - Stetigkeit
- 5.1.3 Parabeln
  - Gleichungen von Parabeln
- 5.1.4 Ableitungen
  - Ableitungen von Geraden
  - Parabeln und Ableitungen
  - Ableitungen von Monomen
  - Ableitungen von Polynomen
  - Ableiten nach der Summenregel
  - Ableiten nach der Produktregel
  - Ableiten nach der Quotientenregel
  - Ableiten nach der Kettenregel
  - Ableiten nach verschiedenen Regeln
  - Fehlerhafte Beispiele der Ableitungsregeln
  - Verständnis des Ableitungsbegriffs
  - Von der Ableitung auf die Funktion schliessen
- 5.1.5 Kurvendiskussion
  - Lokale und globale Extrema
  - Verschiedene Anwendungen von Extremwertaufgaben
  - Anwendungen von Extremwertaufgaben in der Wirtschaft
5.2 Mathematische Beweise
- 5.2.1 Beweis per Induktion
  - Das Prinzip der vollständigen Induktion
  - Summenformeln
  - Die Bernoullische Ungleichung
  - Arithmetisches und geometrisches Mittel
- 5.2.2 Direkte Beweise und indirekte Beweise
  - Direkte Beweise
  - Indirekte Beweise (Widerspruchsbeweise)
  - Beweise mit Kontraposition
Berühmte Mathematiker

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